스마일 노트

위의 그래프와 같이 우리가 무엇을 처음 배울 때는 그것에 대해 아는 것이 거의 없기 때문에 배우는 속도가 매우 느리고 배우는 양도 천천히 늘어난다. 그러다가 어느 정도 시간이 흘러 여러 가지 내용과 방법을 익히게 되면 원리를 쉽게 깨우치고 응용도 하게 되면서 지식의 양이 빠르게 증가하게 된다. 그런데 이 시기가 지나면 지식이 마냥 늘어나지 않고 아주 조금씩만 증가하게 되는데, 그 이유는 학습 내용을 이미 배웠거나, 학습을 중단했거나, 능력의 한계에 도달했기 때문이다. 이렇게 지식의 양이 늘어나는 상황을 나타내는 곡선은 S자 모양인데, 이것을 로지스틱(logistic) 곡선이라고 한다. (출처: Carsten Gundlach, [Current Scientific and Industrial Reality: ..

독일의 심리학자 에빙하우스(Ebbinghaus, H., 1850~1909)의 이론에 따르면, 새로운 내용을 배우고 나서 복습을 하지 않으면 기억하는 정도가 L자 모양으로 급격하게 줄어들어서 10분이 지나면 절반 정도를 잊어버리고 하루가 지나면 겨우 20% 정도만 기억한다고 한다. 그런데 다음 그래프에서처럼 배운 즉시, 24시간, 일주일, 한 달 이내에 복습을 한 번씩만 하면 그 뒤로는 장기 기억이 될 수 있다고 한다. (출처: Tsoularis, A., Wallace, J., [Analysis of logistic growth models]) 출처 수학1 15개정 중등 교과서, 미래엔

어떤 규칙에 따라 실을 감아서 별 모양을 만든다거나 톱니바퀴를 따라 돌리면서 대칭적인 곡선을 그리는 디자인에서 최대공약수와 최소공배수의 원리를 찾아볼 수 있다. 1. 별 그림 속의 최대공약수 그림의 원 위에 일정한 간격으로 12개의 점을 찍고 한 점 P에서 시작하여 시곗바늘이 도는 방향으로 5번째에 있는 점을 차례대로 계속 선분으로 연결하여 만든 별 모양의 도형이다. 이 별 그림을 (12, 5)별과 같이 나타내기로 한다. 이 별 그림은 두 점을 연결한 선분이 계속 이어지면서 출발점으로 되돌아오게 되는데, 12와 5가 서로소이기 때문이다. 한편, (12, 8) 별을 그리면 오른쪽 그림과 같은데, 이 경우에는 분리된 4개의 정삼각형을 그리게 된다. 그 이유는 한 점에서 시곗바늘이 도는 방향으로 8번째 점을 ..

소수와 소인수 찾기 고대 그리스의 수학자이자 천문학자였던 에라토스테네스(Eratosthenes, B.C. 275~B.c. 194?)는 아프리카의 북부 지중해 연안에 있는 키레네에서 태어났다. 그는 문헌학, 지리학을 비롯하여 헤레니즘 시대에 다양한 학문에 걸쳐 많은 업적을 남겼지만, 특히 수학과 천문학 분야에서 뛰어난 업적을 남겼다. 그는 태양의 고도를 이용하여 지구 둘레의 길이를 계산했으며, 위도와 경도를 표시한 세계 지도도 처음 만든 것으로 알려져 있다. 또 다음과 같이 소수를 걸러 내는 방법을 고안했는데, 그의 이름을 붙여서 이 방법을 '에라토스테네스의 체'라 부른다. (출처: 고삼숙, 고호경, 청소년을 위한 서양 수학사) 탐구1 1에서 100까지의 자연수 중에서 다음과 같은 방법으로 소수를 찾아보자..

하노이의 탑 (Tower of Hanoi)은 퍼즐 게임의 일종입니다. 기둥 3개와 이 기둥에 꽂을 수 있는 크기가 다양한 원판이 있고, 퍼즐을 시작하기 전에는 한 기둥에 원판들이 작은 것이 위에 있도록 순서대로 쌓여 있습니다. 두 가지 조건을 만족시키면서 한 기둥에 꽂힌 원판들을 그 순서 그대로 다른 기둥으로 옮겨서 다시 쌓으면 게임이 끝나게 됩니다. 조건1. 한 번에 하나의 원판만 옮길 수 있습니다. 조건2. 큰 원판이 작은 원판 위에 있어서는 안됩니다. 하노이의 탑은 1883년 프랑스 수학자 루카스(Lucas)가 고안한 것으로, 기둥에 꽂혀 있는 64개의 원판을 다른 기둥으로 옮기면 세상의 종말이 온다는 인도의 전설에서 유래되었습니다. 원판의 수가 64개로 쉽게 보이지만 전부 옮기려면 간단한 문제가 ..

우리가 쓰고 있는 곱셈 기호는 1631년 영국의 수학자 오트레드가 '수학의 열쇠'라는 책에서 'X'를 처음 사용했습니다. 'X'는 영국 국기의 십자가를 본떠서 만들었다고도 하고, 성 안드레아의 십자가가 기원이라는 이야기도 있습니다. 모양이 알파벳의 소문자와 닮았다는 이유로 쉽게 받아들여지지 않았다가 19세기 후반에 이르러서야 널리 사용되었다고 합니다. 그럼, 우리가 쓰고 있는 나눗셈 기호는 어떻게 사용하게 된 것일까요? 나눗셈 기호는 원래 분수에서 비롯된 것인데 분수는 분자를 분모로 나눈다는 나눗셈을 표현하고, 이것을 기호로 바꾼 것이 바로 '÷' 기호가 된 것입니다. '÷' 기호를 처음 사용한 사람은 스위스의 란이라는 수학자입니다. 나눗셈 기호는 전세계의 공통어가 아니라 우리나라 외에 미국, 영국, 일..

덧셈(+)과 뺄셈(-) 기호는 독일에서 1489년에 발행된 와이드만의 산수책에서 처음으로 발견되었습니다. 덧셈 기호(+)는 더한다는 뜻의 라틴어 et(에뜨)를 줄여서 사용했고, 뺄셈 기호(-)는 뺀다는 뜻의 minus에서 간단히 m을 흘려쓰다가 현재의 -모양으로 바뀌었다고 합니다. 당시에 덧셈 기호는 넘친다는 의미로, 뺄셈 기호는 부족하다는 의미로 사용되었습니다. 그러다가 1514년 네덜란드의 수학자 호이케에 의해서 덧셈, 뺄셈의 기호로 쓰이게 되었답니다. 프랑스 수학자 비에타라가 이것을 여러 곳에 선전하고 다니기 시작하면서 실질적으로 보급되기 시작하였고 1630년에 정식으로 기호로써 인정을 받았습니다. 출처-최고수준 수학3-1

계산기하면 처음 떠오르는 것이 보통 숫자 버튼이 여러 개 붙어 있는 전자계산기일 것입니다. 하지만 이런 전자계산기 이전에 큰 역할을 하던 계산기는 주판이랍니다. 주판의 역사와 유래는 동서양간에 조금씩 다르지만 그 모양은 모두 직사각형입니다. 심지어 파스칼이 처음으로 발명했다는 파스칼 계산기도 직사각형이고, 전자계산기도 모두 직사각형입니다. 지금 생각하면 이해할 수 없겠지만 계산기가 처음에 나왔을 때 사람들은 그 결과를 완전히 믿을 수 없었습니다. 그래서 계산기로 계산을 하고, 직접 계산을 한 후 그 결과가 일치하면 믿음을 가졌습니다. 따라서 일반인들에게 믿음을 얻기 위해 선택한 모양이 직사각형이었습니다. 정확하다는 인상을 주기에 직사각형만한 모양이 없었습니다. 직사각형에 대한 믿음은 지금도 이어져서 계산..

도형 수(figurate number)란 어떤 도형의 모양을 잘 나타내도록 점을 규칙적으로 늘어놓았을 때의 점의 수를 말합니다. 도형 수 중에서 가장 잘 알려진 것은 다각 수(polygonal number)로, 다각형의 모양에 따라 삼각수, 사각수, 오각수, 육각수 등이 있습니다. 삼각수(triangular number) 위 그림과 같이 늘어놓은 점의 수로 이루어진 수 1, 3, 6, 10 ...에서 각각의 수가 삼각수에 해당합니다. 사각수(square number) 위 그림과 같이 늘어놓은 점의 수로 이루어진 수 1, 4, 9, 16 ...에서 각각의 수가 사각수에 해당합니다. 오각수(Pentagonal number) 위 그림과 같이 늘어놓은 점의 수로 이루어진 수 1, 5, 12, 22...에서 각각..

펜토미노(Pentomino)라는 이름은 솔로몬 골롬(Solomon. W. Golomb) 박사가 1953년 하버드 수학 클럽에서 강의 중 처음 사용하여 붙여졌습니다. 폴로오미노의 한 종류인 펜토미노의 어원을 살펴보면 고대 그리스어의 수를 나타내는 수 중에는 5(다섯)를 나타내는 '펜토'와 조각을 의미하는 '미노'가 합성되어 만들어진 말로 '다섯 조각'을 뜻합니다. 펜토미노 조각(Pentomino piece)들은 정사각형 5개를 변과 변을 연결하여 다양하게 조합하여 만드는 평면도형입니다. 조각은 다음과 같이 12가지의 기본 모양이 있고, 회전시킨 모양을 다르다고 구분하면 모두 64가지의 모양이 생깁니다. 각 조각에 알파벳 이름을 붙여서 부르기도 합니다. 펜토미노는 조각들을 돌리거나 뒤집어 특정한 모양(글자,..